PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO

 

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación, si  el cuerpo NO EXPERIMENTA ACELEREACIÓN, es decir que la fuerza resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre él es nulo.

Matemáticamente:

Para el caso de fuerzas coplanares que se encuentran en el plano cartesiano xy se reduce la fuerza resultante en cada uno de los ejes x e y es cero:

Geométricamente esto implica que estas fuerzas, al ser gráficadas una a continuación de la otra, de modo tal que el extremo de cada una coincida con el origen de otra, formen un polígono cerrado.

Para el caso particular que sobre el cuerpo actúan solo tres fuerzas, estas deben formar un triángulo de fuerzas cerrado. veamos el siguiente esquema

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PROBLEMA 01
El bloque mostrado tiene una masa m = 5 kg y se encuentra en equilibrio. Si el resorte (K = 20 N/cm) se encuentra estirado 4 cm, determinar la tensión de la cuerda vertical.

Resolución:

Como K = 20 N/cm, cuya interpretación es que por cada centímetro de deformación del resorte la fuerza elástica que se genera internamente es de 20 N, se deduce (ley de Hooke) que cuando la deformación sea de 4 cm la fuerza elástica en el resorte será de 80 N.

Hagamos DCL del bloque, teniendo presente que tanto el resorte como la cuerda vertical se encuentran "tensadas" y por tanto las fuerzas que actúan sobre el bloque debido a estos cuerpos se grafican "saliendo" del bloque, y apliquemos la 1ra condición de equilibrio.

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PROBLEMA 02
Si el bloque mostrado en las figura pesa 120 N, determinar las tensiones de las cuerdas A y B.

Resolución:

Como sobre el bloque solo actúan dos fuerzas (la fuerza de la gravedad y la tensión de la cuerda vertical) y este se encuentra en equilibrio, la tensión de la cuerda será igual (en módulo) a la fuerza de la gravedad del bloque.

A continuación hagamos DCL del nudo en donde convergen las tres cuerdas, teniendo presente que las tensiones de las tres cuerdas "salen" del nudo, y a continuación construyamos el triángulo de fuerzas.

Lo que a continuación se tiene que hacer es resolver, el triángulo de fuerzas construido. En este caso, relacionando el triángulo de fuerzas con el triángulo notable de 37° y 53°, deducimos que (k = 30).

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PROBLEMA 03
Si la esfera mostrada en la figura es de 20N, y el módulo de la fuerza F aplicada es de 80 N, determinar los módulos de las reacciones del apoyo en A y B.

Resolución:

Hagamos DCL de la esfera teniendo presente que las reacciones del apoyo en A y B son perpendiculares a las superficies en contacto y se grafican "entrando" al cuerpo que se analiza.

Teniendo presente que los ángulos de la dos perpendiculares son iguales, deducimos que la reacción del apoyo en A (RA) forma con la vertical un ángulo que es igual al ángulo diedro 2θ.

Por otro lado, tenido presente que los ángulos alternos internos entre rectas paralelas son iguales, deducimos que la fuerza F forma con la horizontal un ángulo θ.

A continuación construyamos el triángulo de fuerzas tenido presente que la resultante de la reacción del apoyo en B y el peso apunta hacia arriba.

Se comprueba que el triángulo de fuerzas es un triángulo equilátero y por tanto:

PROBLEMA 04

Una varilla lisa y homogénea de longitud 2L se apoya en el borde de una copa semiesférica de radio R. Para qué valores de L la varilla se mantiene en la posición mostrada.

Resolución:

Resolveré este problema usando criterios geométricos.

Hagamos DCL de la barra en equilibrio, teniendo en cuenta que las tres fuerzas que actúan sobre esta deben ser concurentes (concurren en el punto P).

Observe que las fuerzas de reacción en los puntos de contacto deben ser normales a las superficies de apoyo.

A partir de esto, resolveremos el problema a partir de consideraciones geométricas.
Como el segmento OT es horizontal, y la longitud de los segmentos OT y OQ son iguales al radio de la circunferencia, se demuestra que el triángulo OPT es isósceles y por tanto O es punto medio de PQ.



Del triángulo PQS mostrado se deduce que:

Resolviendo esta ecuación cuadrática, respecto de cos θ, tenemos que:

El mínimo valor del ángulo θ (0^o) se dará cuando:


De esto se deduce que L = 2 R. Conforme la longitud de la varilla disminuye, sin que el radio R cambie, el ángulo θ irá disminuyendo. El máximo valor θ se dará cuando el extremo superior de la varilla coincida con el borde del casquete.

Del gráfico adjunto se deduce que cos θ = L/R. Reemplazando esto en la solución para cos θ obtenida previamente tenemos:

 

 

PROBLEMA 05

Una barra de 11 kg se encuentra en reposo apoyada sobre una superficie horizontal y en una superficie parabólica lisa. Si la barra está a punto de resbalar sobre la superficie horizontal, determine el módulo de la fuerza que ejerce esta superficie sobre la barra. (g = 10 m/s²)

Resolución:

Primero, debemos saber que la derivada de una función continua, evaluada en cierto punto, desde el punto de vista geométrico, nos da el valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la curva L_T que la representa. Aplicando la regla de derivación para potencias tenemos:

De esto se concluye que la tangente del ángulo θ, que forma la recta tangente L_T a la superficie con la horizontal, en el punto cuya abscisa es x = 2, es 2 (tan θ = 2).

Construyamos el diagrama de cuerpo libre de la barra en equilibrio mecánico, teniendo presente que como sobre esta actúan tres fuerzas, estas deben ser concurrentes (observe que la fuerza de reacción normal F_n es perpendicular a la superficie de apoyo).

Por otro lado, se demuestra que cuando una superficie se encuentra a punto de resbalar sobre otra superficie áspera, la tangente del ángulo que forma la reacción total R con la recta normal a dicha superficie es igual al coeficiente de rozamieto estático (μ_e) entre estas.

A continuación, construyamos el triángulo de fuerzas, considerando R = 10 x.

En el triángulo de fuerzas mostrado se cumple que 8x + 3 x = 110, y por tanto x = 10. De este resultado se concluye que el valor de la reacción R es de 100 N.

PROBLEMA 06

Una esfera lisa y homogénea de 7 kg se encuentra en reposo. Determine el módulo de la fuerza que ejerce la superficie curva sobre ella. (g=10 m/s²).

Resolución:

 

Este problema es similar en su concepción a un problema anterior

 

Primero, debemos derivar la función continua para determinar la pendiente de la recta tangente a la curva L_T que representa geométricamente la función. Aplicando la regla de derivación para potencias tenemos:

De esto se concluye que la tangente del ángulo θ, que forma la recta tangente L_T a la superficie con la horizontal, en el punto cuya abscisa es x = 1, es 3/4 (tan θ = 3/4).

Por otro lado, como la pendiente de la recta que define el plano inclinado es -3/4, se concluye que la tangente del ángulo ε es 3/4 (tan ε = 3/4), y por tanto θ = ε ≈ 37^o.

A continuacoón, construyamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera en equilibrio mecánico, teniendo presente que como sobre esta actúan tres fuerzas, estas deben ser concurrentes (observe que ambas fuerzas de normal son perpendiculares a sus respectivas superficie de apoyo).

 

Finalmente, a partir del triángulo de fuerzas formado, se deduce que:

 N₁ = N₂ = 43,75 N

Teorema de Lamy

Si un cuerpo rígido en equilibrio se encuentra sometido a la acción de tres (3) fuerzas, estas deben ser coplanares y sus líneas de acción deben ser concurrentes.

La razón por la que las tres fuerzas deben ser coplanares es bastante simple. Si no fuese así, no se cumpliría la primera condición de equilibrio.

Por ejemplo consideremos que un cuerpo se encuentra en equilibrio sometido a la acción de tres fuerzas no coplanares (ver figura superior). Como la resultante de dos de ellas no se anula con la tercera fuerza no se cumplirá la primera condición de equilibrio.

La razón por la que las tres fuerzas deben ser concurrentes también es bastante simple. Si no fuese así, no se cumpliría la segunda condición de equilibrio.

Por ejemplo analicemos el equilibrio de una barra que se encuentra suspendida de dos cuerdas oblícuas y supongamos que las líneas de acción de las tres fuerzas que actúan sobre ella no son concurrentes (ver figura). Si tomamos momentos respecto del punto en donde convergen dos de ellas, habría un torque resultante provocada por la tercera fuerza que haría rotar a la barra, lo que hace que no se cumpla la segunda condición de equilibrio.

El teorema de Lamy, que fue enunciado por el religioso francés Bernard Lami (1645-1716), dice lo siguiente:

Cuando un cuerpo rígido en equilibrio se encuentra sometido a la acción de tres fuerzas concurrentes, el módulo de cada una es directamente proporcional al seno de su respectivo ángulo opuesto.

Este teorema es una consecuencia de la ley de senos aplicado luego de formar el triangulo de fuerzas.

De esto se deduce el siguiente lema:

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio se encuentra sometido a la acción de tres (3) fuerzas, y los ángulos que forman entre si cada par de estas son iguales a 120^o, los módulos de estas fuerzas deben ser iguales.

PROBLEMA 01
Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en equilibrio estático en la forma que se indica, y el bloque P pesa 21 N, determinar el peso del bloque Q.

Resolución:

Hagamos el DCL del nudo A, teniendo presente que la tensión de la cuerda que sostiene el bloque P es igual a su peso, y apliquemos el teorema de Lami:

A continuación hagamos el DCL del nudo B, teniendo presente que la tensión de la cuerda que sostiene el bloque Q es igual a su peso, y apliquemos nuevamente el teorema de Lami:

PROBLEMA 02

En el interior de un agujero cilíndrico A de radio R = 3r se colocan, sin presión, seis cilindros de radio r y peso W. Calcule la fuerza de acción que ejerce el cilindro 4 sobre la superficie del agujero cilíndrico. EI sistema se encuentra en un plano vertical y no se considera el rozamiento.

Resolución:

Para resolver este problema tendremos presente un lema que se deduce del teorema de Lamy.

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio se encuentra sometido a la acción de tres (3) fuerzas, y los ángulos que forman entre si cada par de estas son iguales a 120^o, los módulos de estas fuerzas deben ser iguales.

Hagamos el DCL de los cilindros 1, 6, 5 y 4 y apliquemos este lema.

• Cilindro 1:

   De esto se deduce que N₁ = W.

• Cilindro 6:

   De donde teniendo en cuenta que N₁ = W deducimos que N₂ = 2W.

• Cilindro 5:

   De donde teniendo en cuenta que N₂ = 2W deducimos que N₃ = 3W.

• Cilindro 4:

   De donde teniendo en cuenta que N₃ = 3W deducimos que N₄ = 4W.

Es decir, el módulo de la fuerza que ejerce el cilindro 4 sobre la superficie cilindrica es 4W.